Pourquoi le monde a-t-il mis 2 000 ans à découvrir la percée d'Archimède dans l'étude des mathématiques ?

Un livre perdu aurait pu changer le cours de l'histoire mondiale . Disparu depuis plus de mille ans, cet exemplaire renferme un témoignage unique des idées de l'un des plus grands érudits de tous les temps.

Tout a commencé à Syracuse, en Sicile, dans la Grande-Grèce (Italie du Sud, colonisée par les Grecs), en 287 avant J.-C. C'est à cette époque que naquit Archimède, un génie en avance de plusieurs siècles sur son temps .

« Il n'y a pas d'autre mathématicien dans l'Antiquité, ni dans l'histoire, qui se rapproche d'Archimède », a déclaré Chris Rorres, professeur émérite de mathématiques à l'université Drexel en Pennsylvanie, à la BBC lors de la découverte du manuscrit.

Archimède est populairement connu comme l'homme qui a crié « Eurêka ! » dans sa baignoire.

Il tentait de résoudre un mystère concernant la couronne d'or du roi.

Le monarque soupçonnait l'orfèvre qui avait fabriqué la couronne d'avoir mélangé de l'argent, un métal moins cher, à l'or qu'il avait fourni pour sa confection.

La couronne avait le poids correct (équivalent à la quantité d'or fournie par le roi), mais comme l'argent est plus léger que l'or, la question était : la couronne aurait-elle un volume plus important que si elle avait été faite d'or massif ?

Un jour, alors qu'il prenait un bain, Archimède remarqua que plus son corps était immergé, plus l'eau débordait. De cette observation, il conclut qu'il pouvait déterminer la taille de la couronne du roi en l'immergeant dans un récipient d'eau et en mesurant le volume d'eau déplacé.

On raconte qu'il était tellement ravi de cette découverte qu'il a immédiatement sauté hors du bain et couru nu dans les rues de Syracuse en criant « Eurêka ! », ce qui en grec signifie « Je l'ai trouvé ! »

On ignore si les citoyens de Sicile ont réellement vu Archimède nu, mais la vérité sur la couronne du roi a été révélée : l'orfèvre avait été malhonnête et le mathématicien s'était révélé être un excellent détective.

De son vivant, Archimède devint célèbre pour ses inventions et redouté pour ses armes de guerre.

Il fut également nommé conseiller militaire par le roi de Syracuse, qui lui confia la défense de la ville.

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Mais c'est à travers les mathématiques que son véritable génie se révèle. Il fut le premier à considérer l'estimation de la valeur de π (Pi), essentielle au calcul de l'aire d'un cercle, comme l'un des fondements de la science.

Il a procédé en plaçant un cercle entre des polygones, car son périmètre peut être calculé puisque ses côtés sont droits.

Il a commencé par insérer un hexagone à l'intérieur du cercle et un autre à l'extérieur. Puis il a continué d'ajouter des côtés jusqu'à en atteindre 96.

L'idée était de rendre les polygones aussi proches que possible du périmètre du cercle, ce qui lui donnerait des frontières de plus en plus étroites entre lesquelles π devrait se situer.

Il a ainsi calculé que la valeur de π était comprise entre 310/71 (environ 3,1408) et 31/7 (environ 3,1429), une estimation qui est encore utilisée par les ingénieurs aujourd'hui - et qui est plus que suffisante pour tous les usages pratiques.

Passionné de mathématiques, ce savant ne considérait aucun problème comme trop difficile.

Il est même allé jusqu'à essayer de calculer le nombre de grains de sable nécessaires pour remplir l'Univers entier.

La réponse : 10, suivi de 62 zéros.

Les historiens de l'époque racontent qu'Archimède entra dans un état d'euphorie lorsqu'il découvrit des formes mathématiques de plus en plus complexes.

Quatre triangles et quatre hexagones forment un tétraèdre tronqué...

12 carrés, 8 hexagones, 6 octogones - octaèdre tronqué...

12 pentagones, 30 carrés et 20 triangles, 60 sommets, 120 arêtes, 62 faces : un rhombicuboctaèdre.

Assez!

Tragiquement, Archimède devint si célèbre que même les Romains connaissaient son existence et voulaient le capturer.

Lorsqu'ils parvinrent enfin à envahir la ville de Syracuse, ils donnèrent l'ordre de l'arrêter. Mais le soldat qui le trouva était distrait et, sans remarquer l'agitation autour de lui, ne reçut pas les instructions correctes. Il le tua donc de son épée.

Un processus de recyclage dévastateur

La mort d'Archimède en 212 av. J.-C. marqua la fin d'un âge d'or des mathématiques grecques, qui déclinèrent progressivement.

Cependant, ses manuscrits ont survécu, reproduits par des scribes qui ont transmis son savoir de génération en génération. Au Xᵉ siècle, une copie définitive de ses œuvres les plus importantes a été réalisée.

Mais l'intérêt pour les mathématiques s'était estompé, et le nom d'Archimède était tombé dans l'oubli.

Un jour du XIIe siècle, un moine se retrouva à court de rouleaux. Les conséquences furent désastreuses.

Les pages de l'exemplaire final de l'œuvre la plus importante d'Archimède ont été réutilisées pour fabriquer un livre de prières.

Chacune des feuilles qui formaient une double page du manuscrit était découpée et pliée pour créer de nouvelles pages qui, après avoir été lavées et grattées, étaient rendues suffisamment nettes pour qu'on puisse y écrire à nouveau.

Le manuscrit a été recyclé et transformé en palimpseste - un papyrus ou un parchemin qui a été « une fois de plus » (palin, en grec) « gratté » (psao, en grec) pour effacer ce qui était écrit et être réutilisé.

Il devint ainsi un livre de prières pour le monastère de Mar Saba, dans le désert de Judée, au Moyen-Orient.

La renaissance mathématique

Au XVe siècle, la Renaissance arrive en Europe. La science avait suffisamment progressé pour que les érudits puissent comprendre les raisonnements mathématiques d'Archimède.

Cependant, personne ne se doutait que certaines de ses meilleures idées avaient été perdues.

Les mathématiciens de la Renaissance devaient se confronter à des concepts et des problèmes qu'Archimède avait résolus 1 500 ans plus tôt.

Mais des centaines d'années s'écoulèrent avant que le manuscrit grec ne refasse surface. On ignore comment, mais il apparut dans une bibliothèque de Constantinople, aujourd'hui Istanbul, en Turquie.

En 1906, en consultant le catalogue de la bibliothèque, Johan Ludvig Heiberg, un spécialiste danois de la culture grecque, tomba sur un élément du document qui piqua sa curiosité.

« Il a dû être stupéfait en découvrant le manuscrit. Il savait pertinemment à quel point ce qu'il lisait était précieux », a déclaré William Noel, ancien conservateur du Walters Museum of Art aux États-Unis, à la BBC. Il est actuellement directeur du Schoenberg Institute for Manuscript Studies des bibliothèques de l'Université de Pennsylvanie à Philadelphie.

Ne pouvant emporter le manuscrit de la bibliothèque, Heiberg prit des photos des pages et, à partir de celles-ci, tenta de reconstituer l'œuvre d'Archimède, une tâche incroyablement ardue avec pour seul allié une loupe.

Quoi qu'il en soit, la découverte de Heiberg a révélé des idées jusque-là inconnues.

Dans son ouvrage, Archimède ne s'est pas contenté de fournir les réponses à ses calculs, mais a également consigné ses pensées les plus intimes, révélant ainsi sa méthode de travail.

« La Méthode »

« Ce fut une découverte spectaculaire pour l'histoire des mathématiques. Si vous êtes peintre, vous vous intéressez probablement aux œuvres achevées des grands maîtres de la peinture. Mais au-delà de cela, vous voulez connaître leurs techniques, leurs méthodes, les matériaux qu'ils utilisaient. Les mathématiciens veulent savoir non seulement quels sont leurs théorèmes, mais aussi comment ils y sont parvenus », compare Rorres.

La Méthode , titre donné à l'ouvrage, a démontré qu'Archimède avait créé une approche radicale qu'aucun mathématicien n'avait jusqu'alors approchée.

Il s'était construit mentalement un ensemble d'échelles totalement imaginaires pour comparer les volumes de formes courbes, qu'il utilisait pour tenter de calculer le volume d'une sphère.

Connaissant déjà le volume d'un cône et d'un cylindre, il tenta d'équilibrer mentalement la sphère et le cône d'un côté avec le cylindre de l'autre.

Archimède imagina une infinité de coupes et, grâce à des calculs mathématiques très complexes, trouva le moyen d'équilibrer les objets sur la balance.

Résultat final : le volume d'une sphère est précisément égal aux deux tiers du volume du cylindre qui l'entoure.

Le mathématicien considérait cette découverte comme si importante qu'il demanda qu'elle soit inscrite sur sa pierre tombale.

En concevant des volumes à l'aide de coupes infinies, Archimède a fait le premier pas vers une branche essentielle des mathématiques connue sous le nom de calcul infinitésimal, 1 800 ans avant son invention.

Le monde moderne ne pourrait exister sans le calcul différentiel et intégral ; il est essentiel pour les scientifiques et les ingénieurs, et la technologie du XXIe siècle en dépend.

Une autre disparition

En 1914, alors qu'il était sur le point de découvrir le véritable génie d'Archimède, le projet de Heiberg d'étudier le manuscrit à Constantinople fut brutalement interrompu.

Avec le début de la Première Guerre mondiale (1914-1918), l'Europe et le Moyen-Orient furent plongés dans le chaos, et le palimpseste contenant les écrits du mathématicien fut à nouveau perdu.

Les chercheurs avaient peu d'espoir de retrouver le document, mais en 1971, Nigel Wilson, un expert de la Grèce antique, entendit parler d'une page d'un manuscrit dans une bibliothèque de l'université de Cambridge au Royaume-Uni et alla enquêter.

« J'ai retranscrit quelques phrases. Il y avait des termes techniques très spécifiques. Grâce à ce vocabulaire, j'ai rapidement compris qu'il s'agissait d'un essai d'Archimède et j'ai réalisé que ce devait être une page du célèbre palimpseste », a déclaré Wilson, professeur d'études classiques à l'université d'Oxford, à la BBC.

Mais pourquoi une seule page du palimpseste d'Archimède s'est-elle retrouvée à Cambridge ?

Un indice résidait dans son origine : une collection de documents ayant appartenu à un érudit nommé Constantin Tischendorf, un homme peu scrupuleux.

« Tischendorf a beaucoup voyagé au Moyen-Orient. À Constantinople, il visita la bibliothèque et déclara qu'un seul manuscrit l'intéressait : un palimpseste contenant un texte mathématique. Il n'en dit pas plus », raconta Wilson.

« Nous ne pouvons nous empêcher de supposer que cette page a été volée », ajoute-t-il.

Au début du XXe siècle, Heiberg ne disposait que d'une loupe pour lire le manuscrit. Dans les années 1970, Nigel Wilson bénéficiait des technologies modernes.

« La majeure partie de la page était lisible, et grâce à la lampe ultraviolette, les coins, auparavant illisibles, sont devenus nets. »

Après la Première Guerre mondiale, Paris et d'autres villes européennes furent inondées d'œuvres d'art provenant du Moyen-Orient, mais personne n'avait vu le document d'Archimède.

En 1991, Félix de Marez Oyens commença à travailler pour la maison de ventes aux enchères Christie's et, dans son nouveau bureau, découvrit une lettre d'une famille française affirmant posséder un palimpseste.

Intrigué, De Marez Oyens alla examiner le livre. « J'ai tout de suite su qu'il s'agissait du manuscrit que Heiberg avait étudié pour la première fois en 1906 », a-t-il déclaré à la BBC.

Les propriétaires ont expliqué que, dans les années 1920, un parent collectionneur amateur avait acquis le manuscrit à Constantinople. Ils souhaitaient maintenant le vendre.

Mais quel est le prix de ce qui est inestimable ?

« Toute estimation de ce genre n'est qu'une supposition. Je crois leur avoir dit que cela valait entre 550 000 et 800 000 dollars américains », a déclaré De Marez Oyens.

Le manuscrit s'est vendu bien plus cher. Un milliardaire anonyme a déboursé 2 millions de dollars américains.

En 1998, le moment était enfin venu de retrouver un savoir perdu depuis plus de deux millénaires. Quelques mois après l'acquisition du manuscrit, le nouveau propriétaire en fit don au Walters Museum of Art de Baltimore, dans le Maryland, aux États-Unis.

Des scientifiques, des restaurateurs et des historiens ont commencé à étudier l'œuvre d'art.

En utilisant la technologie d'imagerie multispectrale et une technique aux rayons X qui fait briller le fer contenu dans l'encre grattée, ils ont découvert que le document contenait non seulement sept traités d'Archimède, mais aussi des discours d'Hypéride, homme politique et orateur athénien, et des commentaires sur les catégories d'Aristote datant du IIe ou IIIe siècle.

Parmi les traités du mathématicien grec figure l'unique exemplaire subsistant du Stomachion d'Archimède, dans lequel il tente de découvrir combien de façons il est possible de combiner 14 pièces fixes pour former un carré parfait.

La réponse est 17 152 combinaisons.

Stomachion signifie mal d'estomac, c'est ainsi que l'on désignait les énigmes dans l'Antiquité.

Il s'agit du premier ouvrage à développer les mathématiques des combinaisons, qui sont à la base des probabilités, un domaine que l'on croyait apparu aux XVIIe ou XVIIIe siècles.

À l'infini

La lecture de La Méthode a sans aucun doute démontré qu'Archimède avait fait un grand pas vers la compréhension de l'infini ; de plus, il a utilisé ce concept dans l'argumentation de l'un de ses théorèmes.

Archimède était plus proche de la science moderne qu'on ne le pensait. Bien que l'on sache qu'il avait entrepris certaines démarches vers le calcul infinitésimal moderne, le palimpseste montrait que, d'une certaine manière, le Grec y était déjà parvenu.

Que se serait-il passé alors si ce document n'avait pas été perdu ? Si les mathématiciens de la Renaissance y avaient eu accès ?

« Cela aurait évidemment changé les mathématiques, mais il ne faut pas oublier que cela aurait influencé toutes les sciences. En gros, ce serait comme si la vague du savoir avait déferlé il y a des centaines d'années », répond Rorres.

Ce texte a été initialement publié par BBC News Brazil le 30 décembre 2017.